第三十七章 秦克沉迷解题无法自拔

宁青筠是最快回过神来的，她以复杂的神色看了眼秦克，又默默地做起了自己的题目，只是眼角余光依然不时瞟向秦克。

五分钟后，对外界毫不知情的秦克重新睁开了眼睛，拿起笔刷刷刷地写了起来。

他已推演过，这题完全可以采用数学的归纳、构造法来证明！

这算是数学归纳法加构造法的高级复用了，也是他目前的数学等级“高中奥数（省级复赛）”所能熟练运用的最强最高级别数学解题法了。

“证明：当m=1时，取长为1的线段的两个端点，构成点集S，原题可证。

假设m=k时，命题成立，即存在点集Sk，对任意A∈Sk，恰有Sk中k个点到点A的距离为1.

以Sk中的每个点为圆心作半径为1的圆，这些圆两两之间的交点是有限个，设它们构成集合Tk，那么Sk∪Tk中任意两点的连线方向只有有限个。

任取一个方向的向量d不属于这个有限个方向，将Sk沿向量d平移一个单位，得到点集Sk’。

由上述向量d的取法不难验证：一方面Sk∩Sk’=Φ；另一方面，两点A∈Sk和A’∈Sk’之间的距离为1（当且仅当A’是由A平移所得）。

当m=k+1时，令Sk+1=Sk∪Sk’，对任意A∈Sk+1，不失一般性，设A∈Sk，根据归纳假设，恰有Sk中k个点与点A的距离为1，又Sk’中一点与点A的距离为1，由此可得出Sk=1中k+1个点与点A的距离为1，由此可证当m=k+1时，命题成立。

由数学归纳法可知，对任意下正整数m，平面内存在满足题意的点集S。

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